Toán 10 cho Gà chọi: học chứng minh trước khi học mẹo

Mình từng kèm một nhóm ba em lớp 10 ở đội tuyển toán của một trường huyện. Cả ba đứa đều thuộc lòng được khoảng bốn chục bất đẳng thức. Đưa cho chúng một bài lạ, không đứa nào viết nổi dòng đầu. Cái đó không phải lỗi của chúng. Cái đó là lỗi của cách dạy.

Người ta dạy bất đẳng thức như dạy bảng cửu chương. Cauchy, Bunhiacopxki, Nesbitt, Schur, rồi Jensen. Học thuộc, thay số, ra. Cách này chạy được đúng cho tới khi đề bài lệch khỏi khuôn một chút. Và đề thi học sinh giỏi thì luôn lệch.

Vì sao học sinh giỏi toán 10 hay bị kẹt ở đúng chỗ đó

Có một khoảng cách ít ai gọi tên. Lớp 9 lên lớp 10 là lúc môn Toán đổi hẳn tính chất. Lớp 9 vẫn còn nhiều bài mà chỉ cần biến đổi cẩn thận là ra. Lớp 10 chuyển sang loại bài mà biến đổi giỏi chưa đủ. Phải có ý tưởng. Ý tưởng không mua được bằng thời gian ngồi nhiều.

Ba dấu hiệu cho thấy một em đang kẹt ở khoảng cách này, và phụ huynh ngồi ngoài hoàn toàn có thể nhận ra:

• Em giải được bài trong sách nhưng đứng im trước bài cùng dạng mà bị đổi ký hiệu
• Vở ghi chi chít công thức nhưng hầu như không có một dòng nào ghi lại vì sao nghĩ ra hướng đó
• Thời gian làm bài dao động kỳ lạ. Bài này hai mươi phút, bài khác ba tiếng, hai bài nhìn không khác nhau là mấy

Dấu hiệu thứ hai mới là cái đáng lo nhất. Vở ghi công thức nghĩa là khi làm bài, các em đang tra cứu chứ không phải đang suy luận.

Một cách nhìn khác về sách tham khảo toán

Chuyện mua sách cho con học đội tuyển ở nhà khá khó chịu. Sách mỏng thì thiếu loại bài. Sách dày thì toàn lời giải tắt, đọc không hiểu sao người ta lại nghĩ ra được như thế.

Điều đáng tiếc là hai kiểu sách đó nhắm vào hai nhu cầu khác nhau, nhưng bìa ngoài trông giống nhau. Người bán không nói, còn phụ huynh thì dễ mua sai vì thấy dày là yên tâm. Cuốn sách tốt cho việc tự học ở nhà phải trả lời được một câu hỏi mà đề bài không bao giờ hỏi: người giải nghĩ gì ở phút thứ nhất, trước cả khi họ quyết định dùng Cauchy.

Mình đọc qua bản PDF của cuốn Toán 10 cho Gà chọi và thấy nó đi đúng vào chỗ đó. Định lý có chứng minh đầy đủ, rồi ví dụ có phân tích hướng đi, rồi mới tới bài tự luyện. Thứ tự này quan trọng hơn nó trông.

Chứng minh định lý để làm gì

Nhiều người lớn nghĩ chứng minh là phần trang trí, học thuộc phát biểu định lý là đủ dùng. Nghĩ vậy thì tiết kiệm được hai tuần đầu và trả giá suốt ba năm phổ thông.

Đọc hết một chứng minh Cauchy-Schwarz dạng chuẩn, cái được không phải là định lý. Cái được là một thói quen: nhìn thấy tổng bình phương thì tự nhiên nghĩ đến bình phương của tổng. Cái phản xạ đó không rơi xuống từ trời. Nó vào đầu lúc đọc chứng minh, và ở lại.

Bảng dưới đây không phải lý thuyết. Đây là đối chiếu giữa hai đứa mình từng kèm, hai cách học khác nhau, cùng xuất phát lớp 10.

Tháng thứ hai là tháng vỡ. Cả hai gia đình đều từng sốt ruột và có ý muốn đổi cách. Nếu bạn đang đọc tới đây và thấy giống nhà mình thì đó là dấu bình thường, không phải dấu sai đường.

Bốn nhóm chủ đề quyết định điểm thi học sinh giỏi

Phần này mình nói hẹp, chỉ nói về bốn nhóm chiếm phần lớn số điểm trong đề thi tỉnh.

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là nơi nhiều em học sinh giỏi nhất vẫn mất điểm vì lý do ngu ngốc. Không phải vì không biết bất đẳng thức nào, mà vì không để ý dấu bằng.

Mình lấy ví dụ thật, sửa lại từ một buổi kèm.

Đề. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Chứng minh rằng x² + y² + z² ≥ 3.

Hướng thường thấy. Phần lớn học sinh thử Cauchy hoặc thay thế. Phần lớn không ra, vì giả thiết cho tổng các tích chứ không cho tổng.

Nhìn lại từ định nghĩa. Điều cần chứng minh là tổng các bình phương ≥ 3. Hằng đẳng thức quen dùng là

x² + y² + z² − xy − yz − zx = ½ [(x − y)² + (y − z)² + (z − x)²]

Vế phải không âm, nên x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx = 3.

Hai dòng. Không có bất đẳng thức nổi tiếng nào được dùng. Cái được dùng là một hằng đẳng thức học ở đầu lớp 10 và một thói quen: thấy tổng bình phương thì nhớ hiệu. Học sinh nào đọc kỹ phần chứng minh Cauchy-Schwarz dạng chuẩn sẽ nhận ra đúng mẹo này, vì nó nằm ngay trong đó.

Đây chính là thứ đáng trả tiền để học.

Số học

Chia hết, đồng dư, phương trình nghiệm nguyên. Nhóm này khó dạy bằng lời giảng. Nó cần làm nhiều, vì mỗi bài lại xoay một góc khác. Giả thiết không bao giờ cho biết nên dùng Fermat nhỏ hay Euler, nên dùng định lý Wilson hay không dùng gì cả.

Có một kinh nghiệm mình nhặt được sau khá nhiều buổi chữa bài: trong phần số học, tỉ lệ ra đúng khi các em dành ba phút phân tích giả thiết trước khi viết (cao hơn hẳn) so với việc cắm cúi biến đổi luôn. Ba phút đó không làm mất điểm. Nó giữ điểm.

Tổ hợp và phép đếm

Nguyên lý Dirichlet, bất biến, cực hạn, nhị thức Newton, xác suất. Đây là phần mà sách giải thường tệ nhất, vì lời giải tổ hợp chỉ gọn một nửa dòng và người đọc không cách nào dựng lại được nửa còn lại nếu không có phân tích. Phần tổ hợp trong tài liệu vì thế nên được đọc chậm hơn các phần khác. Đọc nhanh phần này là tiết kiệm thời gian sai chỗ.

Hình học và vectơ

Vectơ, các hệ thức lượng trong tam giác, đường tròn, phương pháp tọa độ và ba đường conic. Nhóm này là nơi sự chăm chỉ thắng nhiều nhất so với phần bất đẳng thức. Hình học lớp 10 có số lượng dạng bài hữu hạn và hình vẽ ít lừa hơn. Một em khá chắc lý thuyết, chịu vẽ hình đúng tỉ lệ, rất hiếm khi trắng tay cả bài.

Đọc một cuốn dày mà vẫn tiêu hoá được

592 trang là con số làm nhiều người khựng lại khi mở trang sản phẩm. Đúng, nó nếu đọc từ trang một tới trang cuối thì tuần đầu sẽ rất hăng, tuần thứ ba sẽ bỏ dở. Mình từng đi trọn vẹn một cuốn sách tham khảo dày đúng hai lần trong đời và lần thứ hai vẫn mệt.

Cách dùng thực tế, thử rồi thấy ổn:

Thứ nhất, đừng coi nó là sách đọc. Coi nó là sách tra và sách luyện.

Thứ hai, đi theo chuyên đề chứ không đi theo trang. Bất đẳng thức xong trước. Số học xong nhì. Hai phần này quyết định phần lớn kết quả đội tuyển.

Thứ ba, với mỗi chuyên đề: đọc hết định lý và chứng minh trong phần đó, đọc phân tích của các ví dụ, rồi làm bài tự luyện. Trong lúc làm, không mở lời giải. Cất điện thoại, để đồng hồ ba mươi phút. Hết ba mươi phút mà chưa ra thì đọc lời giải, nhưng đọc theo cách: đọc tới dòng thứ hai của lời giải, gấp lại, tự làm tiếp. Kỹ thuật gấp sách này chậm nhưng ăn sâu. Mình từng thấy một em đi từ điểm gần cuối đội tuyển lên nhóm dẫn đầu sau một học kỳ chỉ bằng cách đổi từ đọc lời giải sang gấp lời giải.

Thứ tư, làm bài tự luyện theo mức. Mức tỉnh là phần bắt buộc phải xong. Mức quốc gia là phần nên thử. Mức quốc tế thì để cuối, và nếu một bài quốc tế không ra sau bốn mươi phút thì bỏ qua, vì lợi ích thu về không tương xứng với thời gian bỏ ra.

Ba hiểu lầm phụ huynh hay gặp

Hiểu lầm một. Nghĩ rằng điều kiện để học tốt là con phải thông minh hơn mức trung bình. Thực tế trong ba năm kèm đội tuyển, biến số lớn nhất mình thấy không phải trí thông minh. Nó là việc có bỏ dở giữa chừng hay không.

Hiểu lầm hai. Nghĩ rằng sách song ngữ là chuyện hình thức. Cuốn này có phần tiếng Anh song song, và mình đã hỏi thẳng vài em dùng nó. Ích lợi thật của phần tiếng Anh không phải là đọc hiểu tiếng Anh. Ích lợi là khi đọc lại cùng một ý bằng ngôn ngữ khác, các em buộc phải hiểu ý chứ không thể nhớ mặt chữ. Nhớ mặt chữ bị vô hiệu hoá. Đó là một trong những lý do việc đọc song song hiệu quả dù chậm hơn.

Hiểu lầm ba. Nghĩ học sinh giỏi toán thì không cần luyện hình học. Sai. Hình học là phần ổn định nhất, và mất điểm hình học là dạng mất điểm dễ tránh nhất trong ba phần lớn.

Nếu đang cân nhắc

Phần trung thực, để bạn không phải đoán: cuốn này không phải sách dễ. Nó nhắm vào học sinh giỏi và hướng đội tuyển. Một em đang ở mức trung bình, chưa chắc lý thuyết lớp 10, mở cuốn này sẽ chán trong một tuần. Với trường hợp đó thì cần một bước đệm trước đã. Nói thẳng vậy để bạn đỡ mua rồi tiếc. Sách hay mà sai người dùng thì vẫn là tiền bỏ đi.

Về thông tin mua hàng:

• 592 trang, song ngữ Việt — Anh
• 99.000đ, chuyển khoản trong nước, không cần thẻ quốc tế, không cần tài khoản nước ngoài
• Xem trước 5 trang trực tiếp trên trang sản phẩm, xem xong mới quyết
• Nhận hàng trong 24h sau khi thanh toán
• Định lý có chứng minh đầy đủ, bài tự luyện ba mức tỉnh — quốc gia — quốc tế kèm lời giải cho mọi bài

Xem 5 trang xem trước và đặt hàng tại https://globalmarket.vin/product/toan-10-cho-ga-choi

Còn nếu bạn chỉ muốn một lời khuyên miễn phí trước khi mua: về phần bất đẳng thức, trong tuần đầu hãy cho con đọc chứng minh các định lý thay vì học thuộc phát biểu. Chậm hơn. Nhưng tới tháng thứ ba thì khác hẳn.